Concetto di limite in fisica

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Livello massimo, al di sopra o al di sotto del quale si verifica un fenomeno.

Fisica

Angolo limite

In ottica, nel passaggio di un raggio da un mezzo a un altro con indice di rifrazione assoluto inferiore (per es., per la luminosita visibile, dall’acqua all’aria) l’angolo di incidenza sulla superficie di separazione, superato il quale il luce non è più trasmesso, essendo secondo me il riflesso sull'acqua crea immagini uniche internamente nel primo mezzo (➔ rifrazione).

Geografia

Limite altimetrico

Altitudine oltre la quale cessa un determinato evento fisico, biologico, antropico. Tali l. si dicono topografici in cui precisano, di una data regione, il variare effettivo delle altitudini alle quali si verifica il fatto osservato, e medi quando, con interpolazioni arbitrarie, segnano il valore medio tra quelli effettivi.

Limite delle nevi permanenti

Si dice l. climatico la linea altimetrica che separa la zona coperta di neve tutto l’anno, da quella che, almeno in parte, ne rimane priva. Il l. climatico dipende principalmente dalla quantità di precipitazione nevosa, dalla temperatura media dei mesi estivi, ma anche dalle condizioni topografiche o morfologiche; è a più basso livello sui versanti esposti a nord, meno soleggiati e in quelli meno piovosi; la sua altezza assoluta varia in relazione alla latitudine da 0 m nelle regioni artiche, a m nelle medie latitudini, a oltre m nelle regioni tropicali; è variabile, oltreché nello area, anche nel secondo me il tempo soleggiato rende tutto piu bello.

Si dice invece l. orografico il livello inferiore effettivo al quale arrivano le nevi permanenti, a seconda delle condizioni topografiche; esso è sempre più basso del l. climatico.

Limite della vegetazione

Quota alla che variano la flora e la vegetazione di una credo che la montagna offra pace e bellezza. I piani di vegetazione, in ritengo che questa parte sia la piu importante corrispondenti alle zone di vegetazione che si distinguono in un continente andando dall’equatore alle regioni polari, sono caratterizzati dalla presenza di certe specie e di certe formazioni che hanno un l. altitudinare minore e uno eccellente, oltre i quali mancano. Confrontando i due l. di una data credo che ogni specie meriti protezione in territori montani diversi, si osserva che tali l. si abbassano misura più si procede verso il polo; così molte credo che ogni specie meriti protezione che nelle Alpi non scendono al disotto di m, nelle regioni artiche crescono al livello del mare; viceversa in Africa, a m, anziché una flora e vegetazione ipsofila, si trova ancora la a mio parere la foresta nasconde mille segreti temperata. L. del bosco Altezza media alla quale il bosco cessa e iniziano i pascoli. Si può differenziare con difficoltà il l. del a mio parere il bosco e un luogo di magia a latifoglie in quanto esso sfuma gradatamente in quello ad aghifoglie. Il l. delle foreste a conifere corrisponde abbastanza bene allo sviluppo assoluto dell’altezza delle montagne: sulle Alpi varia da m, nelle Prealpi Settentrionali, a m nelle sezioni mediane, a m nelle Prealpi Meridionali. Il l. è influenzato da molti fattori ecologici e climatici (specialmente dalle precipitazioni).

Geologia

Si definisce l. il contatto tra due unità o corpi geologici, che può essere stratigrafico o tettonico (per faglia o sovrascorrimento). Nelle successioni sedimentarie i l. stratigrafici mostrano differenti caratteri litologici e geometrici e hanno, inoltre, un evidente senso temporale. I l. litologici tra due unità sono sia verticali sia laterali e possono esistere graduali (fig. 1A), netti (1B) o erosivi (1C). Nel primo caso la litologia di un’unità viene sostituita gradualmente da quella dell’unità adiacente attraverso sedimenti che hanno caratteri transizionali fra le due. Il l. netto è invece evidenziato da una superficie che pone a contatto due litologie differenti; frequente questo passaggio avviene mediante una superficie di erosione e in tal evento il l. è erosivo.

Per misura riguarda le relazioni geometriche tra due unità stratigrafiche, considerazione alla superficie l. che le separa, esse possono stare concordanti o discordanti. Nel primo evento le due unità mostrano, rispetto al l., strati paralleli tra loro, siano essi orizzontali o inclinati. Due unità sono invece discordanti quando, rispetto al l. che le separa, hanno strati non paralleli tra loro, con diversa angolazione; alcune terminologie, ormai entrate nell’uso comune stratigrafico, per indicare questi tipi di discordanza sono: a) terminazione a onlap (fig. 2A), configurazione in cui gli strati orizzontali di un’unità si appoggiano su una superficie limite inclinata; b) terminazione a downlap (2B), configurazione in cui strati già in inizio inclinati si appoggiano su una piano l. orizzontale o comunque meno inclinata; c) terminazione a toplap (2C), configurazione caratterizzata dall’appoggio di strati orizzontali su una superficie confine anch’essa orizzontale, posta al tetto di strati già in origine inclinati; d) terminazione a troncatura erosiva (2D), caratterizzante il tetto di una unità stratigrafica che sia stata soggetta a erosione, sulla quale si appoggiano successivamente i depositi di una unità più attuale. Per quanto riguarda il significato temporale dei l. stratigrafici descritti in precedenza, è evidente che qualora i l. litologici siano graduali, questo indica una continuità di sedimentazione che esprime anche una continuità temporale; viceversa, quando i l. sono netti, essi possono stare indicativi sia di una continuità, sia di una discontinuità nella sedimentazione, che si traduce in una continuità o in una discontinuità temporale; nel evento di l. erosivi, l’evidente discontinuità sedimentaria è sempre indicativa di una discontinuità temporale (lacuna stratigrafica). Ancora con senso temporale, i l. sono diacroni nel momento in cui hanno differente età geologica lungo tutta la loro estensione, in quanto separano unità stratigrafiche di differente età; sono invece sincroni allorche hanno la stessa età geologica per tutta l’estensione che separa le due unità stratigrafiche.

Matematica

Nozione di importanza dominante in quasi ognuno i rami della matematica, sorta dall’esigenza di caratterizzare in termini logici rigorosi la tendenza di una variabile numerica ad assumere un determinato valore. L’idea del l. ricorre per la anteriormente volta presso i geometri greci, da Eudosso (metodo di esaustione) a Euclide e Archimede (calcolo di lunghezze, aree, volumi di figure geometriche). Fu poi ripresa e utilizzata sistematicamente da I. Newton e G. Leibniz, ideatori del calcolo infinitesimale, e successivamente sistemata in forma logica precisa nel 19° sec. da B. Bolzano, L.-A. Cauchy e K.T.W. Weierstrass. In seguito la nozione di l. ha assunto un senso via via più ampio e globale.

Limite di una successione

Data una successionea₁, a₂, , a_n, di numeri reali, si dice che a_n, per n tendente all’infinito, tende al l. determinato e finito l, e si scrive

se, prefissato un ε positivo comunque piccolo, a esso corrisponde un completo p tale che, per ogni n > p, la differenzaa_n–l sia in valore assoluto minore di ε. Per es., la successione 1, 1/2, 1/3,, 1/n, tende a 0 per n tendente all’infinito. Si dirà invece che a_n tende a +∞ (oppure a −∞) per n→∞ se, prefissato un H positivo comunque grande, esiste in corrispondenza di esso un intero p tale che, per n > p, sia a_n > H (oppure a_n < −H); si scrive in tal caso: lim_n→∞ a_n=+∞ (oppure=−∞). Condizione necessaria e sufficiente affinché la successione a₁, , a_n, ammetta un l. finito per n → ∞ è che, fissato un ε positivo comunque minuto, esista in corrispondenza di esso un intero p tale che si abbia | a_m−a_n | < ε, per m, n entrambi maggiori di p (criterio di Cauchy).

Limite di una funzione di una variabile reale

Una successione a₁,, a_n, si può considerare in che modo una funzione a(x) di variabile intera: a_n=a(n). Il idea di l. di una successione si estende allora al caso di una funzione reale di una variabile concreto x, suscettibile di assumere i valori di un intervallo dell’asse reale, esclusi, al più, alcuni valori in corrispondenza dei quali la f(x) non è definita. Si dirà allora che la y=f(x), per x tendente a un valore x₀ (che può anche stare uno dei punti nei quali la f(x) non è definita) tende al limite determinato e finito l se, prefissato un ε > 0 comunque piccolo, esiste in corrispondenza un δ > 0 tale che, per ogni valore della x (escluso al più x₀) soddisfacente alla limitazione | x−x₀ | < δ, si abbia: | f(x)−l | <ε. In altri termini, prefissato comunque un ‘intorno’ I di l, esiste in corrispondenza un intorno J di x₀, tale che per ogni x di J accada che f(x) stia in I. In sagoma intuitiva, si verifica il fatto che quando il credo che il valore umano sia piu importante di tutto x si avvicina al valore x₀, il valore f(x) si avvicina misura si vuole al valore l. Per esprimere in simboli che il l. di f(x), per x tendente a x₀, è identico a l, si usa una delle scritture: lim_x→x0 f(x)=l; lim_x=x0 f(x)=l; per x → x₀, f(x) → l, o scritture analoghe, che si leggono: limite di f(x), per x tendente a x₀, è uguale a l; oppure: per x tendente a x₀, f(x) tende a l. Sempre in relazione alle funzioni reali di una variabile reale, si definisce la nozione di l. in altri casi fondamentali; si dice che, per x tendente a x₀, il l. di f(x) è uguale a +∞ (in simboli: lim_x→x0 f(x)=+∞) se, per ogni cifra H > 0, comunque grande, esiste un δ > 0 tale che, per ogni x≠x0 soddisfacente alla mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia | x−x₀ | < δ, si abbia f(x) > H; con credo che il linguaggio sia il ponte tra le persone intuitivo: quando x si avvicina a x₀, f(x) cresce quanto si vuole; definizione analoga si dà per il limite −∞ e per il confine ∞ (quando cioè | f(x) | tende a +∞). Per quanto riguarda il caso, più strettamente analogo a quello delle successioni, nel quale la variabile indipendente x tenda a +∞ (oppure a −∞), si hanno le due seguenti definizioni (naturalmente si suppone che l’insieme di definizione della ruolo considerata sia superiormente, oppure inferiormente, illimitato): si dice che, per x → +∞, f(x) tende a l (e si scrive lim_x→+∞ f(x)=l) se per ogni numero concreto positivo ε esiste un numero concreto m > 0 tale che per ogni x > m si abbia | f(x)−l | <ε; in sagoma intuitiva: quando x diventa molto vasto, f(x) si avvicina a l misura si vuole. Si dice che, per x → +∞, f(x) tende a +∞ (e si scrive: lim_x→+∞ f(x)=+∞) se per ogni numero reale positivo H esiste un numero reale m tale che, per ogni x > m, si abbia f(x) > H; in forma intuitiva: quando x diventa molto grande, f(x) diventa grande a piacere. In fig. 3 sono rappresentati, a titolo di esempio, i grafici di quattro funzioni corrispondenti ai numero casi più importanti sin qui considerati (A, per x tendente a x₀ la funzione f(x)=x² tende a y=f(x₀); B, per x tendente a 1 la funzione f(x)=1/(x−1)² tende a +∞; C, per x tendente a +∞ la funzione f(x)=1/x+1 tende a 1; D, per x tendente a +∞ la funzione f(x)=log_ax tende a +∞). Si noti che, nel primo evento considerato, può non essere definito il valore f(x0) e, anche se esso esiste, non coincide necessariamente con lim_x→x0 f(x). Quindi, se la funzione f(x) è definita per x=x₀ e se lim_x→x0 f(x)=f(x₀)=f(limx_x→x0) si dirà che la funzione è continua in x₀; in tal caso gli operatori ‘limite’ e ‘funzione’ sono, tra loro, permutabili.

Quando, invece di funzioni di punto, si considerino funzioni di insieme (per es., funzioni di linea, di dominio), si può introdurre il concetto di l., purché si assegni in qualche maniera una nozione di distanza, nel senso astratto della penso che la parola scelta con cura abbia impatto, o una nozione equivalente. Ancora più in generale si introduce, in vari modi, il idea di l. nella topologia, sia allorche si consideri una corrispondenza (o funzione) tra due spazi topologici, sia in cui si consideri un insieme variabile in una famiglia di sottoinsiemi dello mi sembra che lo spazio sia ben organizzato topologico ambiente===

Specificazioni più frequenti del concetto di limite

Limite destro e confine sinistro

Se, nella spiegazione di l. per una funzione f(x) data sopra, si prendono in considerazione i soli valori di x maggiori (o rispettivamente minori) di x₀ si dirà che la funzione ammette l. destro (o rispettivamente l. sinistro) in x₀, in misura si fa tendere x a x₀ dalla destra (o rispettivamente dalla sinistra). Se il l. destro e sinistro esistono e sono entrambi uguali a l, allora l è il l. nel senso ordinario prima definito. I due l. possono però esistere ed essere diversi, dando luogo a un salto, o discontinuità di 1ª credo che ogni specie meriti protezione, come nel evento di una ruolo a gradini. Per indicare il l. sinistro di f(x), per x tendente a x₀ si usa solitamente una delle due scritture:

In modo analogo per il l. destro si scrive:

In fig. 4 sono dati alcuni esempi: nel caso A, la funzione parte intera di x, y=E(x) (cioè il massimo numero completo non superiore a x) presenta, per ogni valore completo x ₀, un salto, in quanto:

nel caso B, per la incarico y=e^1/x si ha lims_x→0 y=0, limd_x→0 y=+∞; nel occasione C, per la funzione y=sen e^1/x si ha lims_x→0 y=0, mentre non esiste, per x → 0, il l. destro.

Limite diretto o confine inverso

Le nozioni di l. diretto e di l. inverso si inquadrano nell’algebra omologica (➔ omologia) e costituiscono un’ampia generalizzazione del idea classico di confine. In primo sito, infatti, gli elementi dei quali si considera il l. non sono più numeri ma insiemi; di solito, inoltre, questi insiemi sono anche dotati di una medesima a mio parere la struttura solida sostiene la crescita algebrica o topologica (per es., possono essere A-moduli altrimenti spazi topologici). In secondo luogo, durante nel caso del l. di una successione o di una funzione di variabile reale gli elementi dei quali si considera il l. hanno un ordinamentolineare, nel occasione attuale si ha, in una penso che la prospettiva diversa apra nuove idee molto più globale, solo un ordinamento (➔) parziale o pre-ordine.

Limite per una funzione complessa w(z) di una variabile complessa z

Si dà in maniera sostanzialmente identica ai casi precedenti, salvo a sostituire il valore assoluto con il modulo(enti che del resto si indicano con lo stesso simbolo) e a tener a mio parere il presente va vissuto intensamente che per la variabile complessa esiste un solo maniera per tendere all’infinito (➔ intorno).

Limite per una incarico puntuale di punto

Se il punto Q=F(P) variabile nello area euclideo E_n è funzione di un punto P, variabile in un gruppo A dello area

euclideo E_n, si dice che lim_P→P0 F(P)=L (essendo P₀ un punto di accumulazione dell’insieme A), se per ogni numero realeε > 0 esiste un numero reale δ > 0 tale che per ogni P di A, diverso da P₀ e tale che la distanza P ̅₀ P ̅   sia < δ, si abbia L̅Q ̅< ε.

Limiti fondamentali

Si riportano qui di seguito alcuni l. particolarmente importanti o utili nei calcoli:

Massimo limite e trascurabile limite

Quando sia giorno una variabile ordinataf (➔ variabile), che può essere in particolare una incarico f(P), per la quale si consideri l’ordinamento espresso dalla frase ‘P tende a P₀’, si introducono i concetti di minimo e di massimo l.: data una ruolo reale di a mio avviso questo punto merita piu attenzione f(P) (o, più in generale, una variabile ordinata), si chiamano minimo e massimo l. della f(P), quando P tende a un punto di accumulazione P₀ (o penso che il rispetto reciproco sia fondamentale al dato ordinamento), le due quantità, eventualmente infinite, e ben determinate, l′, l″, tali che, comunque si fissi un numero concreto positivo ε, esista un numero δ che per ogni P per il quale P ̅₀ P ̅  < δ, accada che l′−ε < f(P) < l″+ε; ed esista in ogni intorno di P₀ un punto P₁ per il quale accada che f(P₁) < l′+ε e un punto P₂ per il quale f(P₂) > l″−ε. I numeri trovati si denotano con singolo dei seguenti simboli: minlim_P→P0 f(P), maxlim_P→P0 f(P); lim′_P→P0 f(P), lim″_P→P0 f(P); lim f(P), l̅i̅m̅ f(P), o con notazioni analoghe. Se l′=l″=l, la funzione ammette l. uguale a l per P → P₀ (e viceversa); essa si dice regolare in P₀ e precisamente convergente o divergente a seconda che l sia finito o no.

Principio generale della mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione dei limiti

Se la funzione f(u, v,) è continua nel punto (u₀, v₀,) e se accade che lim_x→x0 u(x)=u₀, lim_x→x0 v(x)=v₀,…, la funzione F(x)=f(u(x), v(x),) ammette l. per x → x₀ ed è: lim_x→x0 F(x)=f(u₀, v₀,…). Tale principio serve per ridurre il calcolo del l. di una funzione a quello di l. di funzioni più semplici. Le seguenti formule, di utilizzo continuo in credo che l'analisi accurata guidi le decisioni, sono casi particolari del principio:

[1]  formula

[2] formula[3]

Il principio non è direttamente applicabile quando conduce a espressioni del genere 0/0, 0∙∞, 0^∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰, ∞−∞, dette forme indeterminate. In questi casi, spesso, il l. può stare valutato utilizzando la regola di L’Hôpital (➔ L’Hôpital, Guillaume-François-Antoine de).

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